Entrelazamiento Cuántico (I)

Reflexionaremos ahora sobre una importante propiedad de los estados puros (y de algunas mixturas) de los sistemas dinámicos cuánticos compuestos.

Definición 1 (Sistema Aislado).- Diremos que un sistema S está aislado si verifica:

a) Es dinámicamente independiente de cualquier otro sistema S': El operador Hamiltoniano de interacción entre ambos, verifica:    

b) Es probabilísticamente independiente (separable) de cualquier otro sistema.

Decimos que un sistema compuesto es factorizable en relación a algunos subsistemas, si cada uno de estos subsistemas está aislado de cualquier otro.

En Mecánica Cuántica (en adelante, MC), la independencia dinámica es solo condición necesaria en un sistema aislado, mientras que en Mecánica Clásica hay una equivalencia entre las dos. En otras palabras, la independencia de b) respecto de a) es una propiedad típica de la MC.




El concepto entrelazamiento cuántico fue formulado por primera vez por Schrödinger en 1936.

Definición 2 (Entrelazamiento).- En un sistema dinámico cuántico  S, compuesto de n subsistemas,  un estado entrelazado en él, es aquel en que los subsistemas no son probabilísticamente independientes.

El entrelazamiento es un fenómeno natural, típicamente cuántico, sin paragón en el universo clásico, para sistemas multipartícula. Obsérvese, no obstante, que el entrelazamiento es consecuencia de la superposición cuántica de estados en un sistema compuesto de varios subsistemas, Podríamos expresarlo en lenguaje natural mediante esta ecuación:

Entrelazamiento = Superposición de estados ∩ No factorización de estados

Teorema.- Sea S = S₁ + ··· + S_n un sistema dinámico compuesto por los subsistemas S₁, ... , S_n. Un estado cuántico de S: |Ψ^(S)〉, está (es) entrelazado si y solo si no es factorizable como producto tensorial de los estados cuánticos de los subsistemas componentes de S.

Demostración.- Por inducción sobre el número de subsistemas, n. Para n = 2. Sea  S = S₁ + S₂, el sistema compuesto. Por simplicidad (pero sin pérdida de generalidad) supondremos que los espacios de Hilbert complejos y separables de los estados cuánticos de S₁ y S₂, respectivamente H₁ y H₂, tienen dimensión hilbertiana igual a 2, cada uno.

Sean pues


                          {|φ₁⁽¹⁾〉,|φ₂⁽¹⁾〉}

una base hilbertiana de H₁, y


                           {|φ₁⁽²⁾〉,|φ₂⁽²⁾〉}

una base hilbertiana de H₂.

Entonces, el espacio de Hilbert de los estados cuánticos de S será

                            H = H₁ ⊗ H₂,


y una base hilbertiana de H, es:


                          {|φ₁⁽¹⁾〉 ⊗ |φ₁⁽²⁾〉 , |φ₁⁽¹⁾〉 ⊗ |φ₂⁽²⁾〉, |φ₂⁽¹⁾〉 ⊗ |φ₁⁽²⁾〉, |φ₂⁽¹⁾〉 ⊗ |φ₂⁽²⁾〉}


conjunto de cardinal 4.

Sea el estado entrelazado de S:

     [1]                     |Ψ^(S)〉= c |φ₁⁽¹⁾〉⊗ |φ₁⁽²⁾〉+ c'  |φ₂⁽¹⁾〉⊗ |φ₂⁽²⁾〉


con |c|² + |c'|² = 1 (suponemos los estados cuánticos normalizados) y c, c' ≠ 0.


y supongámoslo  factorizable:


    [2]                      |Ψ^(S)〉= |ξ⁽¹⁾〉⊗ |ϕ⁽²⁾〉

con |ξ⁽¹⁾〉∈ H₁ y |ϕ⁽²⁾〉∈ H₂.

Entonces:


  [3]                       |ξ⁽¹⁾〉= c₁ |φ₁⁽¹⁾〉+ c₂ |φ₂⁽¹⁾〉
               
  [3']                       |ϕ⁽²⁾〉= c'₁ |φ₁⁽²⁾〉+ c'₂ |φ₂⁽²⁾〉


con |c₁|² + |c₂|² = 1, |c'₁|² + |c'₂|² = 1.

Sustituyendo [3] y [3'] en [2], queda:


                           
   |Ψ^(S)〉= c₁c'₁ |φ₁⁽¹⁾〉⊗ |φ₁⁽²⁾〉+ c₁c'₂ |φ₁⁽¹⁾〉⊗ |φ₂⁽²⁾〉+ c₂c'₁ |φ₂⁽¹⁾〉⊗  |φ₁⁽²⁾〉+ c₂c'₂ |φ₂⁽¹⁾〉⊗ |φ₂⁽²⁾〉

Y ahora, igualando la anterior expresión a [1] e identificando coeficientes, nos queda un sistema de cuatro ecuaciones no lineales con cuatro incógnitas:


c = c₁c'₁
0 = c₁c'₂
0 = c₂c'₁
c' = c₂c'₂


Como c,c' ≠ 0, y el cuerpo de los números complejos es un dominio de integridad, de la segunda de las ecuaciones anteriores, por ejemplo, se deduce que c₁ = 0 ó c'₂ = 0, lo que es imposible.

Luego |Ψ^(S)〉 no es factorizable.

La segunda parte del teorema es trivial. Si


                              |Ψ^(S)〉= |ξ⁽¹⁾〉⊗ |ϕ⁽²⁾〉

es inmediato que |Ψ^(S)〉 no representa a un estado entrelazado de S, pues en este caso S₁ y S₂ son probabilísticamente independientes.

De hecho, se define en algún texto de MC a un estado no entrelazado explícitamente como factorizable.

Q.E.D.