El Principio de Superposición Cuántico.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN CUÁNTICO.- Si S es un sistema dinámico y |A〉, |B〉 son  estados cuánticos posibles de S, entonces

|R〉 = a|A〉 + b|B〉

es un estado cuántico posible de S, siendo a,b números complejos no nulos.

Hay una interpretación errónea de este principio toral de la MC, consistente en afirmar que estar el sistema S el estado cuántico |R〉, superposición lineal de los estados cuánticos |A〉 y |B〉, significa que el sistema S está a la vez en el estado cuántico |A〉 y en estado cuántico |B〉. Esto es, en general, incorrecto.

CASO 1. |A〉 y |B〉 son linealmente dependientes. Entonces existe un número complejo no nulo c, tal que |A〉 = c|B〉, y de ello se sigue que

|R〉 = a|A〉 + b|B〉 = a{c|B〉} + b|B〉 = {ac + b}|B〉

Es decir, el estado |R〉, el |A〉 y el |B〉 representan el mismo estado.

CASO 2. |A〉 y |B〉 son linealmente independientes¹. Entonces no existe ningún número complejo c tal que |A〉 = c|B〉, y el estado |R〉 es un nuevo estado de S, distinto de los estados |A〉 y |B〉.

Probemos que |R〉 es un estado distinto del estado |A〉, y por simetría quedará probado también respecto al estado |B〉. Si el estado |R〉 fuera igual al estado |A〉, existiría un número complejo no nulo c, tal que |R〉 = c|A〉.

Entonces, de

|R〉 = a|A〉 + b|B〉

con a,b no nulos, y de

|R〉 = c|A〉

con c no nulo, se deduce que

a|A〉 + b|B〉 = c|A〉

y operando en la igualdad anterior, se obtiene:

(a-c)|A〉 + b|B〉 = 0

Pero por la independencia lineal entre |A〉 y |B〉 se tendría, entonces, que

a-c = b = 0;

lo cual es imposible.

Y ahora viene el matiz que confunde al lego en MC. En las condiciones de independencia lineal entre |A〉 y |B〉 citadas, el carácter de "distinto" del estado |R〉 respecto de |A〉 y de |B〉 ha de ser entendido no como una distinción total, sino en el sentido en que, aun poseyendo el estado |R〉 algunas de las propiedades de los estados |A〉 y |B〉, no se identifica, en general, con ninguno de ellos, por ser un estado diferente (en general) de los mismos, según ahora matizamos.

DEFINICIÓN.- Sea S un sistema dinámico y |A〉, |B〉 dos posibles estados cuánticos de S. Definimos una medida de semejanza entre |A〉 y |B〉, de la siguiente forma:



En la ecuación anterior, ${∆}_{sem}\le 1$ es consecuencia de la desigualdad de Schwartz.

Entonces, diremos que los estados |A〉 y |B〉 son:

(i) completamente diferentes, si ${∆}_{sem}=0$.

(ii) completamente iguales o idénticos, si ${∆}_{sem}=1$.

(iii) ${∆}_{sem}$-semejantes, si ${∆}_{sem}\in \left(0,1\right)$.

Dichos estados serán más "parecidos" cuanto más próximo esté a 1 el valor de ${∆}_{sem}$.

En el caso (i), los estados |A〉 y |B〉 son ortogonales; esto es: 〈A|B〉 = 0.

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¹También se define la independencia lineal entre |A〉 y |B〉 estableciendo que estos dos kets son linealmente independientes si para cualesquiera números complejos a,b, tales que a|A〉 + b|B〉 = 0, entonces a = b = 0.