El Teorema de Bell

Enunciado en su forma más simple, el Teorema de Bell (TB, en adelante) afirma: Ninguna teoría física de variables ocultas locales puede nunca reproducir todas las predicciones de la Mecánica Cuántica (MC, en adelante).

Esencial para la intelección del TB es el concepto de realismo local, que se define por, o fundamenta en, dos principios o nociones intuitivas:

1. Los atributos de una partícula tienen valores definidos, independientemente del acto de observación.
   
2. Los efectos físicos se propagan a velocidad finita.
   

Por el TB, o la MC o el realismo local fallan. Los experimentos necesarios para determinar cuál es correcta llevarían varios años de desarrollo tecnológico y conceptual. Los experimentos realizados hasta la fecha muestran que las desigualdades de Bell son violadas. Esto supone evidencia empírica contra el realismo local, y demuestra la existencia de alguna desconocida acción a distancia. El Principio de Relatividad Especial se salva mediante el llamado Teorema de No-Comunicación, el cual prueba que los observadores no pueden usar la violación de las desigualdades para transmitir información entre ellos a una velocidad mayor que la velocidad de la luz en el vacío.

Supongamos un dispositivo experimental en que cual dos observadores, A y B, realizan medidas independientes sobre un sistema físico S, preparado de antemano en un estado determinado. En cada ensayo de medida, A y B escogen, independientemente, de entre varios dispositivos detectores. A puede escoger un detector a, para obtener una medida A(a), y B puede escoger un detector b para obtener una medida B(b). Después de repetidos ensayos, A y B reúnen los datos de sus medidas y correlacionan sus resultados.

En el análisis de Bell hay dos asunciones torales:

1. Cada medida revela una propiedad física objetiva del sistema.
   
2. Una medida efectuada por un observador no tiene efecto sobre la medida efectuada por el otro.
   

Las medidas repetidas realizadas por A y B son susceptibles de modelización mediante muestras repetidas de dos variables aleatorias. Puede esperarse que laas medidas de A y B estén correlacionadas, que las correspondientes variables aleatorias estén funcionalmente relacionadas. Lo que la desigualdad de Bell expresa es que hay un límite al grado de correlación que puede esperarse.

La desigualdad de Bell, en todo su esplendor, reza:

C(A(a),B(b)) + C(A(a),B(b')) + C(A(a'),B(b)) - C(A(a'),B(b')) ≤ 2
(1)

Formalizaremos el realismo local como sigue:

a) Existe un espacio probabilístico ( Λ, A, P ), tal que las observaciones de A y B constituyen muestras aleatorias, de parámetro λ ε Λ.

b) Los valores observados por A y B son funciones de los dispositivos detectores locales y del parámetro oculto, sólo. Por lo tanto

1. El valor observado por A con el dispositivo detector a es A(a,λ)
   
2. El valor observado por B con el dispositivo detector b es B(b,λ)
   

En la asunción a) se encuentra implícito el espacio paramétrico oculto Λ.

Teorema de Bell Si se verifican a) y b) , se cumple la desigualdad (1).

Demostración

Supongamos primero que los valores observados pertenecen al conjunto { +1, -1 }. Sea
λ ε Λ; entonces, al menos una de las cantidades

B(b,λ) + B(b',λ), B(b,λ) - B(b',λ)

es 0. Por lo tanto

A(a,λ)B(b,λ) + A(a,λ)B(b',λ) + A(a',λ)B(b,λ) - A(a',λ)B(b',λ)=

A(a,λ)[B(b,λ) + B(b',λ)] + A(a',λ)[B(b,λ) - B(b',λ)] ≤ 2

En consecuencia

C[A(a,λ)B(b,λ)] + C[A(a,λ)B(b',λ)] + C[A(a',λ)B(b,λ)] - C[A(a',λ)B(b',λ)] =


∫_Λ A(a,λ)B(b,λ) dP(λ) +

∫_Λ A(a,λ)B(b',λ) dP(λ) +
∫_Λ A(a',λ)B(b,λ) dP(λ) -
∫_Λ A(a',λ)B(b',λ) dP(λ) =

∫_Λ {A(a,λ)B(b,λ) + A(a,λ)B(b',λ) +A(a,'λ)B(b,λ) - A(a',λ)B(b',λ) } dP(λ) =

∫_Λ {A(a,λ)[B(b,λ) + B(b',λ)] + A(a',λ)[B(b,λ) - B(b',λ)] } dP(λ) ≤ 2

Supongamos ahora que A(a,λ),B(b,λ) ε [-1,1], /\λ ε Λ. Entonces

A(a,λ)B(b,λ) + A(a,λ)B(b',λ) + A(a',λ)B(b,λ) - A(a',λ)B(b',λ) =

A(a,λ)[B(b,λ) + B(b',λ)] + A(a',λ)[B(b,λ) - B(b',λ)] ≤

|A(a,λ)[B(b,λ) + B(b',λ)] + A(a',λ)[B(b,λ) - B(b',λ)]| ≤

|A(a,λ)[B(b,λ) + B(b',λ)]| + |A(a',λ)[B(b,λ) - B(b',λ)]| ≤

|B(b,λ) + B(b',λ)| + |B(b,λ) - B(b',λ)| ≤ 2.

Si suponemos, sin pérdida de generalidad,que B(b,λ) ≥ B(b',λ) ≥ 0,

se tiene

|B(b,λ) + B(b',λ)| + |B(b,λ) - B(b',λ)| =

B(b,λ) + B(b',λ) + B(b,λ) - B(b',λ) = 2B(b,λ) ≤ 2

#_{Teorema de Bell}

Las desigualdades del TB se refieren a medidas realizadas por dos observadores sobre parejas de partículas que interaccionan y luego se separan. Asumir la existencia de variables ocultas en este sistema limita la correlación de medidas subsiguientes sobre estas partículas. Bell descubrió que, en la MC, este límite de la correlación puede ser violado.

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Algunos conceptos matemáticos

Definición Una variable aleatoria real unidimensional, X, es una aplicación

X : ( Λ, A, P ) → (R, B, P_X)

(A,B)-medible.

Λ es un conjunto no vacío; A una σ-álgebra de subconjuntos de Λ; P, una medida de probabilidad sobre el espacio probabilizable (Λ, A); R, la recta real; B, la σ-álgebra de Borel sobre R; y P_X la medida de probabilidad inducida por X en el espacio medible (R,B).

La esperanza matemática de dicha variable aleatoria se define por

E[X] = ∫_Λ X(λ) dP(λ)

Dadas dos variables aleatorias unidimensionales (o una variable aleatoria bidimensional) X,Y ((X,Y), respectivamente), para las que existen momentos de segundo orden (centrales y respecto del origen), el coeficiente de correlación entre X e Y, se define por:

ρ_XY = μ₁₁/(σ_X σ_Y)

con

μ₁₁ = E[(X - α₁₀) ( Y - α₀₁ ) ]

y

σ_X = + ( E[(X - α₁₀)²] )^1/2

σ_Y = + ( E[(Y - α₀₁)²] )^1/2

El coeficiente de correlación entre dos variables aleatorias es una medida del grado de dependencia entre las mismas. Es un número tal que -1 ≤ ρ ≤ 1. Se dice que dos variables aleatorias son incorreladas cuando su coeficiente de correlación es cero. Si dos v.a.,s. son independientes, entonces son incorreladas. La afirmación simétrica no es cierta.

En el Teorema de Bell se emplea el llamado coeficiente de correlación normalizado, entre las v.a.,s. (observables) X, Y:

C(X,Y) = ρ(X,Y) = E[XY]

que es ρ_XY cuando α₁₀ = α₀₁ = 0, y σ_X = σ_Y = 1