El Teorema de No-Clonación

Dado un sistema cuántico S, en un cierto (en principio, desconocido) estado cuántico |ψ〉, ¿es posible hacer una copia perfecta de él? Es decir, ¿es posible tener un segundo sistema S' en el mismo estado |ψ〉, mientras dejamos a S en el estado original?

Sabemos que, clásicamente, es posible. Máquinas fotocopiadoras, copia de llaves, fabricación de coches del mismo modelo y color, en serie; etc.

La respuesta a la genérica pregunta anterior es negativa, lo que se demuestra  en el siguiente


Teorema de No-Clonación.- Es imposible clonar un estado cuántico arbitrario.

Demostración.- Sea |ϕ〉 un estado cuántico arbitrario. Consideremos un dispositivo clonador en el estado cuántico |ψ〉, y sea Û el operador unitario de evolución temporal (del sistema compuesto) tal que:



Û|ϕ〉 ⊗ |ψ〉 = |ϕ〉 ⊗ |ϕ 〉 ⊗ |ψ'〉 (*)

Supongamos que es posible un dispositivo de clonación y supongamos que hay dos estados |ϕ₁〉, |ϕ₂〉, para los que la relación (*) se verifica:



Û|ϕ₁〉 ⊗ |ψ〉 = |ϕ₁〉 ⊗ |ϕ₁〉 ⊗ |ψ'〉
Û|ϕ₂〉 ⊗ |ψ〉 = |ϕ₂〉 ⊗ |ϕ₂〉 ⊗ |ψ''〉

Al ser Û lineal se cumple que, para el estado superposición:




|ϕ_s〉 = √(1/2)(|ϕ₁〉 + |ϕ₂〉)

se obtiene:




Û|ϕ_s〉 ⊗ |ψ〉 = √(1/2)(|ϕ₁〉 ⊗ |ϕ₁〉 ⊗ |ψ'〉) + √(1/2)(|ϕ₂〉 ⊗ |ϕ₂〉 ⊗ |ψ''〉)

lo que contradice (*), pues, según esta relación, se tendría:



Û|ϕ_s〉 ⊗ |ψ〉 = |ϕ_s〉 ⊗ |ϕ_s〉 ⊗ |ψ'''〉

En consecuencia, es imposible construir un dispositivo que pueda clonar un (cualquier) estado arbitrario, desconocido.
Q.E.D.