Los orígenes de la Física Cuántica (II)

Rayleigh y Jeans hicieron un cálculo de la densidad de energía de la radiación en el interior de una cavidad de cuerpo negro, el cual supuso un conflicto entre la Física Clásica y los resultados experimentales.

Consideremos una cavidad con paredes metálicas calentadas uniformemente a una temperatura $T$. Entonces, las paredes metálicas de la cavidad emitirán radiación térmica, en el intervalo térmico de frecuencias. Esto sucede, esencialmente, como consecuencia del movimiento acelerado de los electrones en las paredes metálicas de la cavidad, debido a la agitación térmica.

Usando la Teoría Electromagnética Clásica puede mostrarse que la radiación en el interior de la cavidad existe en forma de ondas estacionarias, con nodos en las superficies metálicas.
Calculemos el número de ondas estacionarias con frecuencias en el intervalo $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)$.
Supongamos, por simplicidad, que la cavidad de paredes metálicas en cuyo interior hay radiación electromagnética, tiene la forma de un cubo de lado $a$. La radiación incidirá en cada pared opuesta y se reflejará en ella, pudiéndose analizar en tres componentes: uno por cada eje ortogonal del cubo. Al ser las paredes opuestas perfectamente paralelas, cada componente puede ser analizada independientemente de las demás.

Consideremos por ahora solo la componente $x$ y la pared metálica en $x=0$. Las radiaciones incidente y reflejada se mezclarán para componer ondas estacionarias. Como la radiación electromagnética es una vibración transversal, con el vector campo eléctrico $\mathbb{E}$ perpendicular a la dirección de propagación, $\mathbb{E}$ será paralelo a la pared. Pero en una superficie metálica no puede haber campo eléctrico paralelo a la misma (en caso contrario, las cargas libres del metal se moverían para compensar dicho campo y anularlo). En consecuencia, $\mathbb{E}$ para esta componente será el vector nulo. Luego la onda estacionaria asociada a la componente $x$ de la radiación, tendrá un nodo con amplitud $\mathbf{0}$ en $x=0$. Esto también ocurrirá en $x=\mathrm{a}$, por razones análogas. Y, de forma similar, para $y=0,a;z=0,a$.

Estas condiciones limitan las posibles longitudes de onda (luego las posibles frecuencias) de la radiación electromagnética en el interior de la cavidad.

Cálculo del número de ondas estacionarias en la cavidad, con longitudes de onda en el intervalo $\left(\lambda ,\lambda +d\lambda \right)$ (o, respectivamente, con frecuencias en el intervalo $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)$.

Consideremos el problema unidimensional (de una cavidad unidimensional). El campo eléctrico de una onda electromagnética (OEM) unidimensional estacionaria viene dado por la expresión:

$E\left(x,t\right)=E_0\sin \left(\frac{2\pi x}{\lambda }\right)\sin \left(2\pi \nu t\right)$

Siendo $\lambda$ la longitud de onda de la OEM, $\nu$ la frecuencia, $E_0$ su amplitud máxima. Además, $\nu =\raisebox{1ex}{$c$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\lambda $}\right.$, siendo $c$ la velocidad de propagación de la OEM.

Como la función $\sin$ se anula para $\frac{2\pi x}{\lambda }=n\pi ,n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, se tendrá que

$\sin \left(\frac{2\pi x}{\lambda }\right)=0\iff \frac{2x}{\lambda }=n=0,1,2,...$

Y esto para todo instante de tiempo $t$.
Dado que la onda posee nodos en $x=0 y x=a$, se tendrá que $2a\raisebox{1ex}{$$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\lambda $}\right.=n,n=1,2,3,\dots$. Esta condición determina los valores posibles de $\lambda$.

Para las frecuencias, como $\nu =\raisebox{1ex}{$c$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\lambda $}\right.$, se deduce que: $\nu =\raisebox{1ex}{$cn$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2a$}\right. , n=1,2,3,\dots$. Si representamos los valores de las frecuencias en diagramas en los que se marca un punto por cada valor de $n$, el valor de la frecuencia $\nu$ correspondiente a un $n$ particular será $\left(\raisebox{1ex}{$c$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2a$}\right.\right)d$, siendo $d$ la distancia desde el origen a ese punto, o bien, $d=\left(\raisebox{1ex}{$2a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$c$}\right.\right)\nu$. Luego el número de valores posibles de frecuencia, en el intervalo $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)$ (número que denotamos mediante la expresión $N\left(\nu \right)d\nu$, será:

$N\left(\nu \right)d\nu =\frac{2a}{c}d\nu$

Como para cada frecuencia $\nu$ hay dos ondas (una por cada estado de polarización de la OEM), se tendrá:

$N\left(\nu \right)d\nu =\frac{4a}{c}d\nu$

para la cavidad unidimensional.
La extensión a una cavidad tridimensional es sencilla, numerando mediante $n_x,n_y,n_z$ para cada dimensión las componentes de la OEM tridimensional. El número de frecuencias posibles en el intervalo $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)$ será igual al número de puntos contenidos entre celdas de radios correspondientes a las frecuencias $\nu$ y $\nu +d\nu$, que será proporcional al volumen contenido entre estos dos radios (debido a la distribución uniforme de los puntos $n_x,n_y,n_z$). Luego $N\left(\nu \right)d\nu \propto {\nu }^{2}d\nu$. Concretamente, se deduce que:

$\boxed{N\left(\nu \right)d\nu =\frac{8\mathrm{\pi }V}{c^3}{\nu }^{2}d\nu } \left(1\right)$

Siendo $V=a^3$ el volumen de la cavidad.

Una vez calculado el número de ondas estacionarias en el intervalo $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)$, dentro de la cavidad tridimensional, evaluaremos la energía total media por cada onda de frecuencia $\nu$.

Según la Física Clásica, la energía de una OEM particular puede tener cualquier valor entre $0$ e $\infty$, siendo proporcional al módulo de la amplitud (del campo eléctrico) al cuadrado.

Para un sistema que contiene un elevado número de entidades físicas del mismo género, en equilibrio térmico, a temperatura $T$, la Física Clásica permite predecir el valor medio de la energía de esas entidades (en este caso, de las OEM estacionarias producidas por la radiación térmica de las paredes de la cavidad que se hallan a temperatura $T$). La llamada ley de equipartición de la energía reza: Para un sistema compuesto de un gas de moléculas en equilibrio térmico a temperatura $T$, la energía cinética media de una molécula, por grado de libertad, es $kT/2$, donde $k=1.38\times {10}^{-23}J/°K$ es la constante de Boltzmann.

Esta ley puede ser aplicada ahora, no a moléculas, sino a las ondas estacionarias en el interior de la cavidad (esto es, a cualquier gran número de entidades físicas del mismo género, en equilibrio térmico a temperatura $T$). Como cada onda estacionaria sinusoidal tiene una energía total que es doble de su energía cinética media, la energía total media de cada onda estacionaria será: $\overline{\mathcal{E}}=kT \left(2\right)$ (independiente de su frecuencia).

Ahora bien, la energía por unidad de volumen en el intervalo de frecuencias $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)$, para el espectro de cuerpo negro del interior de una cavidad a temperatura $T$ es el producto de la energía total media por onda estacionaria y el número de ondas estacionarias en el intervalo de frecuencias $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)$, dividido todo por el volumen de la cavidad. Luego de (1) y (2), se deduce:

$\boxed{{\rho }_T\left(\nu \right)d\nu =\frac{\frac{8\pi V}{c^3}{\nu }^{2}d\nu }{V}kT=\frac{8\pi {\nu }^{2}kT}{c^3}d\nu }$

La anterior es la fórmula de Rayleigh-Jeans para la radiación de cuerpo negro (ver figura).

Observando la figura, se comprueba la discrepancia entre la curva predicha por Rayleigh-Jeans mediante cálculos clásicos y la curva experimental. En el límite de bajas frecuencias, obsérvese que el espectro clásicamente predicho se aproxima al obtenido experimentalmente; pero a altas frecuencias, el espectro clásico diverge a infinito. Sin embargo, los experimentos muestran que la densidad de energía en el interior de la cavidad es siempre finita (como por otra parte es obvio) y que tiende a 0 a muy altas frecuencias.

El comportamiento irreal predicho por la Física Clásica a altas frecuencias se conoce en Física como la catástrofe ultravioleta, y sugiere un fallo de aplicación de la teoría física clásica, la cual ha de ser sustituida (mejor, extendida o ampliada) por otra.

En el próximo artículo veremos como, genialmente, Max Planck consiguió explicar el espectro observado de cuerpo negro de la cavidad radiante, lo que dio origen a la fascinante y ubicua teoría cuántica de la materia.

Los orígenes de la Física Cuántica (I)

El 14 de diciembre de 1900, en una reunión de la Sociedad Alemana de Física, Max Planck leyó los resultados de su investigación "Sobre la teoría de la ley de distribución de la energía del espectro normal".
Este documento, el cual atrajo poca atención, fue el inicio de una revolución en Física. La fecha de su presentación se considera el nacimiento de la Física Cuántica.

Radiación térmica.

Radiación térmica es la radiación emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura. Todos los cuerpos emiten radiación a su entorno y la absorben o reciben de él. Si un cuerpo está más caliente que su entorno, la tasa de emisión de energía térmica excederá a la tasa de absorción de energía térmica, y el cuerpo se enfriará hasta alcanzar un equilibrio térmico con su entorno; en ese caso, las tasas de emisión y de absorción serán iguales.

La materia, en estados condensados (sólido o líquido) emite un espectro continuo de radiación. Los detalles del espectro son casi independientes de la composición del cuerpo; pero dependen fuertemente de su temperatura. A temperaturas ordinarias, muchos cuerpos son visibles no por la luz que emiten, sino por la luz que reflejan. A muy altas temperaturas, los cuerpos son autoluminosos. Pueden ser vistos en habitaciones a oscuras; pero incluso a tan elevadas temperaturas, el 90% de la radiación térmica emitida por ellos se encuentra en la región infrarroja del espectro electromagnético.
Cuando se incrementa la temperatura de un cuerpo, este emite más radiación térmica y la frecuencia de la radiación más intensa se hace mayor.

En general, la forma detallada del espectro de la radiación térmica emitida por un cuerpo caliente depende, en alguna forma, de su composición. Pero experimentalmente se comprueba que existe una clase de cuerpos calientes los cuales emiten espectros térmicos de carácter universal. Estos cuerpos se denominan cuerpos negros; es decir, cuerpos cuyas superficies absorben toda la radiación que incide sobre ellas.
Todos los cuerpos negros, a la misma temperatura, emiten radiación térmica con el mismo espectro. Este hecho puede ser explicado mediante argumentos clásicos relativos al equilibrio termodinámico. Pero la forma específica del espectro no puede ser obtenida únicamente mediante argumentos termodinámicos.

La distribución espectral de la radiación de un cuerpo negro se especifica por la magnitud $R_T\left(\nu \right)$, llamada radiancia espectral, la cual se define de tal forma que $R_T\left(\nu \right)d\nu$ es igual a la energía emitida por unidad de tiempo, mediante radiación de frecuencia en el intervalo $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)$, desde la unidad de área de la superficie de dicho cuerpo negro, a temperatura absoluta $T$. La dependencia de $R_T\left(v\right)$, respecto de $v$ y de $T$ se muestra en la figura adjunta (para distintos valores de $T$).

La distribución de la radiancia espectral de un cuerpo negro mostrada en la figura (para una temperatura determinada) nos informa de que:

a) La potencia radiada en un intervalo de frecuencias de amplitud fija $d\nu$ es muy pequeña cuando la frecuencia media del intervalo, $\nu$, es a su vez pequeña comparada con ${10}^{14}Hz$. La potencia es 0 para $\nu =0$
b) La potencia radiada en el intervalo $d\nu$ crece rápidamente desde pequeños valores.
c) Se hace máxima dicha potencia para un valor ${\nu }_T$, característico de cada temperatura y linealmente dependiente de ella; es decir, la potencia radiada es más intensa en esta temperatura y su valor para cada temperatura depende linealmente de esa temperatura.
d) Por encima de este valor característico ${\nu }_T$ la potencia radiada disminuye lenta pero continuamente cuando la frecuencia se incrementa. Se hace 0 de nuevo para valores $\nu \to \infty$.
e) La potencia total radiada en todas las frecuencias (área bajo cada curva de radiancia espectral) para una temperatura particular, se incrementa con la temperatura, y lo hace según la cuarta potencia de dicha temperatura:

${\int }_0^{\infty }{R}_T\left(\nu \right)d\nu$

Donde $R_T\left(\nu \right)d\nu$ es la potencia radiada en el intervalo de frecuencias $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)$. Como $R_T\left(\nu \right)$ es la energía emitida por unidad de tiempo y unidad de área de la superficie de cuerpo negro, y por unidad de frecuencia, a la temperatura absoluta $T$ (en el S.I.: $\frac{W}{m^{2}Hz}$), entonces $R_T\left(\nu \right)d\nu$ será la energía emitida por unidad de tiempo (potencia) y por unidad de área de la superficie de un cuerpo negro a temperatura absoluta $T$, en el intervalo de frecuencias de amplitud $d\nu$.

Entonces, la integral (de Riemann) de la radiancia espectral $R_T\left(\nu \right)$ sobre todas las frecuencias, es la energía emitida por unidad de tiempo y por unidad de área desde un cuerpo negro a temperatura absoluta $T$, que se denomina radiancia, $R_T$, es:

$R_T={\int }_0^{\infty }{R}_T\left(\nu \right)d\nu$

Experimentalmente se comprueba lo que gráficamente se observa: que la radiancia de un cuerpo negro a temperatura absoluta $T$, sigue la siguiente ley de Stefan:

$R_T=\sigma T^4$

Donde $\sigma =5.6\times {10}^{-8}\left[\raisebox{1ex}{$W$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$m^2·°K^4$}\right.\right]$ es la llamada constante de Stefan-Boltzmann.

La figura nos muestra también que el espectro se desplaza hacia frecuencias más altas conforme aumenta la temperatura absoluta. Esto determina la llamada ley del desplazamiento de Wien: ${\nu }_{\text{máx}}\propto T$, donde ${\nu }_{\text{máx}}$ es la frecuencia $\nu$ para la cual $R_T\left(\nu \right)$ tiene un máximo relativo para una temperatura absoluta $T$.

Un ejemplo de cuerpo negro es el de un objeto que contiene una cavidad conectada con el exterior a través de un pequeño orificio (pequeño comparado con la superficie exterior de la cavidad). La radiación externa que incida sobre la cavidad se reflejará varias veces en la pared del interior de la misma, siendo absorbida por ella. Luego el orificio tendrá la característica de un cuerpo negro. Si las paredes de esta cavidad se calientan uniformemente a una temperatura absoluta $T$, entonces las paredes de la cavidad emitirán radiación térmica, una parte de la cual (una muestra) emergerá por el orificio de la misma hacia el exterior. Como este agujero tendrá las características de la superficie de un cuerpo negro, el espectro de emisión emergente de la cavidad a través del agujero tendrá la forma del espectro de radiación de un cuerpo negro, y puesto que esa radiación emergente es una muestra de la radiación en el interior de la cavidad, esa radiación también tendrá el espectro característico de cuerpo negro a la temperatura $T$.

Para especificar el espectro de la radiación del interior de la cavidad, es más útil emplear la magnitud ${\rho }_T\left(\nu \right)$ (densidad de energía de la radiación en el interior de la cavidad), que el flujo $R_T\left(\nu \right)$. ${\rho }_T\left(\nu \right)$ es la energía contenida por unidad de volumen del interior de la cavidad a temperatura $T$ y en el intervalo de frecuencias $\left(\nu ,\nu +d\nu \right)$. Obviamente, ambas magnitudes serán proporcionales: ${\rho }_T\left(\nu \right)\propto R_T\left(\nu \right)$.

Como, para una onda electromagnética¹, $\lambda \nu =c$, siendo $c$ la velocidad de la luz, la ley del desplazamiento de Wien se puede escribir en la forma: ${\lambda }_{\text{máx}}T=const.$ Experimentalmente, el valor la de constante de Wien es $const.=2.898\times {10}^{-3}m·°K$.

Con estos datos podemos resolver algunos sencillos pero importantes problemas de Física.

PROBLEMA 1.- Si suponemos que la superficie de una estrellla se comporta como un cuerpo negro, podemos realizar una buena estimación de la temperatura de la misma. Para el Sol, ${\lambda }_{\text{máx}}=5100\stackrel{°}{\text{A}}$ y, para la Estrella Polar, ${\lambda }_{\text{máx}}=3500\stackrel{°}{\text{A}}$. Encontremos sus temperaturas superficiales.

$\begin{array}{c}{T}_{Sol}=\frac{const.}{5100\times {10}^{-10}m}=\frac{2.898\times {10}^{-3}m·°K}{5100\times {10}^{-10}m}=5700°K\\ T_{Polar}=\frac{const.}{3500\times {10}^{-10}m}=\frac{2.898\times {10}^{-3}m·°K}{3500\times {10}^{-10}m}=8300°K\\ \end{array}$

Haciendo uso de la ley de Stefan, calculemos la potencia radiada por cada $\begin{array}{c}c{m}^2\end{array}$ de superficie estelar:

$\begin{array}{c}{R}_{T,Sol}=\sigma T^4=5.67\times {10}^{-8}\frac{W}{m^2·°K^4}\times {\left(5700°K\right)}^4\cong 6000\frac{W}{c{m}^2}\\ R_{T,Polar}=\sigma T^4=5.67\times {10}^{-8}\frac{W}{m^2·°K^4}\times {\left(8300°K\right)}^4\cong 27000\frac{W}{c{m}^2}\\ \end{array}$

Obsérvese que, a $5700°K$, la temperatura de la superficie del Sol está próxima a la temperatura para la cual la mayor parte de la radiación emitida se encuentra en la región visible del espectro electromagnético. Esto sugiere que nuestros ojos se han adaptado, volviéndose más sensibles a aquellas longitudes de onda en las cuales el Sol radia con más intensidad.

PROBLEMA 2.- En una explosión termonuclear la temperatura de la "bola de fuego" es, momentáneamente, de unos ${10}^7°K$ (diez millones de grados Kelvin). Calculemos la longitud de onda de la radiación emitida con más intensidad.

${\lambda }_{máx}=\frac{const.}{T}=\frac{2.898\times {10}^{-3}m·°K}{{10}^7°K}=2.898\times {10}^{-10}m\simeq 0.3nm$

Esta longitud de onda corresponde a radiación gamma, como era de esperar.

PROBLEMA 3.- Suponiendo que la superficie del cuerpo humano se comporta aproximadamente como un cuerpo negro, calculemos la longitud de onda para la cual la radiación emitida por el cuerpo humano es máxima, considerando que este se halla a $310°K$ ($37°C$).

${\lambda }_{máx}=\frac{const.}{T}=\frac{2.898\times {10}^{-3}m·°K}{310°K}=9.35\times {10}^{-6}m~{10}^{-5}m$

Es decir, la radiación pedida está en el infrarrojo, como también era de esperar.

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¹ λ es la longitud de onda y ν la frecuencia de la onda electromagnética (supuesta monocromática).

El Principio de (No) Contradicción y la Mecánica Cuántica.

TEOREMA.- Un mismo sistema dinámico cuántico no puede estar y no estar a la vez en el mismo estado cuántico.

Demostración.- Sea S un sistema dinámico cuántico y |A〉 un estado cuántico de S. Estar S en |A〉 equivale a estar S en cualquier estado cuántico cuyo ket es de la forma c|A〉, siendo c un número complejo de módulo: |c| = 1.

No estar S en |A〉 ("estar S en no-|A〉") es estar S en un estado cuántico cuyo ket |B〉 es ortogonal al ket |A〉. Es decir, es estar S en un estado cuántico de la forma c'|B〉, con c' un complejo cualquiera de módulo 1, tal que

〈A|B〉 = 〈B|A〉 = 0.

Si S estuviese a la vez en A y en no-A, se cumpliría que

c|A〉 = c'|B〉             (*)

para ciertos números complejos c,c' de módulo unidad.

Luego

|A〉 = (c'/c)|B〉

y entonces el estado |A〉 de S es el mismo que el estado |B〉 de S, contra la hipótesis de partida. 

También, multiplicando escalarmente ambos miembros de (*) por el bra  〈B|  y realizando operaciones, se tiene


〈B|A〉 = (c'/c)〈B|B〉 = 0



Luego |B〉 = 0, lo que es imposible.

Q.E.D.