Los orígenes de la Física Cuántica (IV)

El efecto fotoeléctrico.

Hacia 1905, Einstein, en su explicación del efecto fotoeléctrico (por la que recibió el Premio Nobel de Física) sugirió la naturaleza cuántica de la luz y la cuantización de la energía (en sistemas ligados).
El dispositivo experimental para el estudio del efecto fotoeléctrico (ver figura) consta de un circuito eléctrico con una batería, una resistencia variable, un voltímetro (no figura en la imagen), un amperímetro y una ampolla de vacío, en la que hay un cátodo metálico en un extremo y un ánodo metálico en el otro.

Luz monocromática (UV, por ejemplo) entra por una ventana de la cámara e incide en el cátodo, provocando la emisión de electrones. Algunos de estos electrones colisionan con el ánodo dando lugar a una corriente eléctrica entre las placas (la cual es medida por el amperímetro). La placa del ánodo está cargada negativamente, de modo que tiende a repeler a los electrones; solamente los electrones más energéticos la alcanzan.

La energía cinética máxima $K_{máx}$ de los electrones emitidos se consigue anmentando el voltaje hasta que la corriente se anula. El experimento muestra que $K_{máx}$ es independiente de la intensidad de la luz incidente, lo que contraviene a la Física Clásica pues, según ésta, al aumentar el ritmo al que incide la energía lumínica en la superficie metálica, la energía absorbida por los electrones de la misma debería aumentar, luego también la $K_{máx}$ de los electrones emitidos.

Pero experimentalmente se observa que $K_{máx}$ es la misma para una determinada longitud de onda de la luz incidente, con independencia de la intensidad de la luz (potencia por unidad de área iluminada).

La sugerencia de Einstein para explicar esta discrepancia fue que la energía luminosa debería hallarse cuantizada en pequeños "paquetes" llamados "fotones", siendo la energía de cada fotón:

$\boxed{E=hf=\frac{hc}{\lambda }} \left(1\right)$

Que es la ecuación de Einstein para la energía del fotón, en la cual

$h=6.626\times {10}^{-34}J·s=4.136\times {10}^{-15}eV·s$

es la constante de Planck, $f$ la frecuencia y $\lambda$ la longitud de onda.

Un haz de luz consiste, pues, en un chorro de partículas o corpúsculos cada uno de los cuales con energía $hf$.



El haz luminoso interacciona con la superficie del cátodo mediante colisiones fotón-electrón, en las cuales el fotón desaparece y cede toda su energía al electrón. Cada electrón emitido por la superficie metálica recibe su energía de un solo fotón.
Al aumentar la intensidad de la luz, lo que aumenta es el número de fotones incidentes por unidad de tiempo y unidad de área, y se emiten más electrones; pero como cada fotón tiene la misma energía $hf$, la energía absorbida por cada electrón también es la misma.

Si $\varphi$ es la energía mínima necesaria para arrancar a un electrón de un átomo de la superficie metálica, entonces:

$\boxed{K_{máx}=hf-\varphi } \left(2\right)$

Esta es la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico. La magnitud $\varphi$ se denomina función de trabajo (trabajo o energía de extracción) del metal.

La ecuación (2) representa una línea recta ($K_{máx}$ en función de $f$), de pendiente $h$ y ordenada en el origen $-\varphi$.

Diez años más tarde del descubrimiento de Einstein, el físico norteamericano R.A. Millikan obtuvo un gráfico experimental de la ecuación (2), mostrando su corrección.

Observando el gráfico, inducimos que los fotones con frecuencia inferior a una frecuencia umbral $f_u$ (luego, respectivamente, con una longitud de onda mayor que una longitud de onda umbral ${\lambda }_u=c/f_u$) no tienen energía suficiente para expulsar a un electrón de un metal determinado.

De (2) deducimos:

$K_{máx}=0=h{f}_u-\varphi$

Luego

$\varphi =h{f}_u=\frac{hc}{{\lambda }_u}$

Se calcula que $hc=1240 eV·nm$ para los problemas, pues las longitudes de onda se suelen dar en nanómetros (nm) y las energías en electrón-voltios (eV).

EJEMPLO 1.- Considerando luz (espectro visible) de longitudes de onda entre $400 nm$ y $700 nm$, las energías de los fotones correspondientes a estos extremos, serán:

$\begin{array}{c}{E}_{400}=\frac{1240 eV·nm}{400 nm}=3.10 eV\\ E_{700}=\frac{1240 eV·nm}{700 nm}=1.77 eV\\ \end{array}$

Según estos cálculos, la luz visible contiene fotones con energías en el rango entre $\begin{array}{c}1.8 eV\end{array}$ y $\begin{array}{c}3.1 eV\end{array}$, aproximadamente.
Los rayos X están contituidos por fotones con energías del orden del $keV$. Los rayos gamma emitidos por los núcleos atómicos son fotones con energías del orden del $MeV$. Sus correspondientes longitudes de onda son

$\begin{array}{l}{\lambda }_X=\frac{1240 eV·nm}{1\times {10}^3 eV}=1.24 nm\\ E_{\gamma }=\frac{1240 eV·nm}{1\times {10}^6 eV}=0.0012 nm=1.2 pm\\ \end{array}$

EJEMPLO 2.- Conociendo que la intensidad de la luz solar en la superficie de la Tierra es aproximadamente $1400 \raisebox{1ex}{$W$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$m^2$}\right.$ y que la energía media de los fotones que llegan del Sol es de $2.00 eV$ ($\lambda \simeq 600 nm$), calculemos el número de fotones que inciden en un área terrestre de $1.00 c{m}^{\mathrm{2,}}$ en cada segundo.

Como $I=\frac{P}{A}=\frac{∆E}{A∆t}=\frac{Nhf}{A∆t}$ y $A=1.00 c{m}^2,∆t=1 s.$, se tiene que

$I=Nhf \left[\raisebox{1ex}{$W$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$c{m}^2·s$}\right.\right]$

Luego

$N=\frac{I}{hf}=\frac{\left(0.14 \frac{J}{c{m}^2·s}\right)\left(\frac{1 eV}{1.602\times {10}^{-19} J}\right)}{2.00 eV}=4.37\times {10}^{17}\frac{fotones}{c{m}^2·s}$

Los orígenes de la Física Cuántica (III)

Introducción matemática.

La distribución de Boltzmann de energías es un caso particular de distribución de una variable aleatoria del Cálculo de Probabilidades: la distribución exponencial (que a su vez es un caso particular de la distribución gamma).

De dice que una variable aleatoria $X$ sigue una distribución exponencial de parámetro $\theta$ (o que se distribuye según una exponencial de parámetro $\theta >0$, o que sigue el modelo probabilístico de una exponencial de parámetro $\theta >0$), y se escribe $X\hookrightarrow Exp\left(\theta \right)=\gamma \left(1,\theta \right)$, si su función de densidad es de la forma

$f_X\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\theta e^{-\theta x}, si x>0\\ 0 , si x\le 0\end{array}\right.$

Es un cálculo integral sencillo el comprobar que la media o esperanza matemática de $X$ es

${\alpha }_1=\mathbb{E}\left[X\right]={\int }_0^{+\infty }\theta e^{-\theta x}dx=\frac{1}{\theta }$

integrando por partes.

DEFINICIÓN.- Una función $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ se llama función de densidad sobre $\mathrm{ℝ}$ si verifica:

(a) $f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \mathrm{ℝ}$.
(b) $f$ es integrable-Riemann en $\mathrm{ℝ}$ (esto es, el conjunto de puntos de discontinuidad de $f$ en $\mathrm{ℝ}$ es de medida de Jordan nula).
(c) ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)dx=1$.

Interpretación física de la función de densidad.

Sea $X$ una variable aleatoria continua con función de densidad $f_{X }y x\in \mathrm{ℝ}$ un punto de continuidad de $f_{X }$. Entonces, aplicando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral, se tiene que

$\mathrm{\mathbb{P}}\left\{x\le X\le x+∆x\right\}={\int }_x^{x+∆x}{f}_x\left(x\right)dx=f_X\left(\xi \right)∆x,\xi \in \left[x,x+∆x\right]$

Como $\mathrm{\mathbb{P}}\left\{x\le X\le x+∆x\right\}$ representa una masa, si lo dividimos por $∆x$ (una longitud), obtendremos una densidad: $f_X\left(x\right)$. Luego $f_X\left(x\right)$ es la probabilidad por unidad de longitud, en el punto $x$.

En el caso físico que nos ocupará ahora, será $\theta =\frac{1}{kT}$.

Teoría de Planck de la cavidad radiante.

Para resolver la discrepancia entre la teoría (curva de Rayleigh-Jeans) y el experimento, Planck consideró la posibilidad de que la ley de equipartición de la energía (LEE), sobre la cual se fundamentaba la teoría anterior, fuera violada.
Asumiendo que $\underset{\nu \to 0}{\overline{\mathcal{E}}\to kT}$, en concordancia con los datos experimentales, propuso que $\underset{\nu \to \infty }{\overline{\mathcal{E}}\to 0}$.

La LEE asigna a $\overline{\mathcal{E}}$ un valor independiente de la frecuencia. La LEE procede, básicamente, de un resultado de la Mecánica Estadística conocido por la distribución de Boltzmann, que podemos definir aquí bajo la forma

$P\left(\mathcal{E}\right)=\frac{e^{-{\displaystyle \frac{\mathcal{E}}{kT}}}}{kT}$

Siendo $P\left(\mathcal{E}\right)$ la probabilidad de encontrar una entidad dada en un sistema, con energía en el intervalo $\left(\mathcal{E},\mathcal{E}+d\mathcal{E}\right)$, cuando el número de estados de energía para la entidad es, en ese intervalo, independiente de $\mathcal{E}$.

Se supone que el sistema contiene un gran número de entidades del mismo género, en equilibrio térmico a temperatura $T$. Las entidades que ahora consideramos en el sistema son un conjunto de ondas armónicas estacionarias en equilibrio térmico, dentro de la cavidad de cuerpo negro.
La distribución de Boltzmann nos ofrece completa información sobre las energías de las entidades en nuestro sistema. Su valor medio es

$\overline{\mathcal{E}}=\frac{{\int }_0^{+\infty }\mathcal{E}P\left(\mathcal{E}\right)d\mathcal{E}}{{\int }_0^{+\infty }P\left(\mathcal{E}\right)d\mathcal{E}}$

Entonces, integrando por partes, se obtiene

$\overline{\mathcal{E}}={\int }_0^{+\infty }\mathcal{E}P\left(\mathcal{E}\right)d\mathcal{E}={\int }_0^{+\infty }\mathcal{E}\frac{e^{-{\displaystyle \frac{\mathcal{E}}{kT}}}}{kT}d\mathcal{E}=kT$

Que es la ley de equipartición de la energía.

La gran y decisiva contribución de Planck fue suponer que la energía $\mathcal{E}$ es una variable discreta y no continua, con lo que el cálculo de $\overline{\mathcal{E}}$ se reduce al de la sumam de una serie numérica, y no a una integral impropia. Planck asumió que la energía $\mathcal{E}$ solo podía tomar valores discretos, uniformemente distribuidos:

$\mathcal{E}=0,∆\mathcal{E},2∆\mathcal{E},3∆\mathcal{E},\dots$

Si se toma $∆\mathcal{E}\ll kT$, se obtiene $\overline{\mathcal{E}}\cong kT$, pues el rango de energía $kT$ es mucho mayor que el incremento $∆\mathcal{E}$, y en la práctica $\mathcal{E}$ tiene una distribución que se diferencia poco de la continua.
Ahora bien, si $∆\mathcal{E}\approx kT$, no se puede ignorar el carácter discreto de $\mathcal{E}$ al evaluar $\overline{\mathcal{E}}$.

En resumen, Planck descubrió que se podía obtener $\overline{\mathcal{E}}\simeq kT$ cuando los incrementos $∆\mathcal{E}$ eran pequeños, y $\overline{\mathcal{E}}\simeq 0$ cuando los incrementos $∆\mathcal{E}$ eran grandes. Como era preciso obtener el primer resultado para valores $\nu$ pequeños y el segundo resultado para valores $\nu$ grandes, se precisaba que $∆\mathcal{E}$ fuera función creciente de $\nu$
Realizando cálculos, concluyó que la relación entre $∆\mathcal{E}$ y $\nu$ tenía que ser lineal, obteniendo experimentalmente la ecuación

$∆\mathcal{E}=h\nu$

siendo $h$ una constante de proporcionalidad (calculada experimentalmente, también), que se denominó después, en honor de su descubridor, constante de Planck:

$\boxed{h=6.6260693\times {10}^{-34}J·s}$

Derivación matemática de la expresión de Planck.

Por definición

$\overline{\mathcal{E}}=\frac{{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}\mathcal{E}P\left(\mathcal{E}\right)}{{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}P\left(\mathcal{E}\right)}$

Además, por el postulado de Planck: $\mathcal{E}=nh\nu ;n=0,1,2,\dots$.
Como $P\left(\mathcal{E}\right)=\frac{e^{-\frac{\mathcal{E}}{kT}}}{kT}$, se tiene

$\overline{\mathcal{E}}=\frac{{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}\frac{nh\nu }{kT}{e}^{-\frac{nh\nu }{kT}}}{{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}\frac{1}{kT}{e}^{-\frac{nh\nu }{kT}}}$

Escribiendo $\alpha =\frac{h\nu }{kT}$, se tiene

$\overline{\mathcal{E}}=\frac{{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}n\alpha e^{-n\alpha }}{\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{kT}{e}^{-n\alpha }}=kT\frac{\sum _{n=0}^{\infty }n\alpha e^{-n\alpha }}{\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-n\alpha }}$

Pero

$\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-n\alpha }=\frac{1}{1-e^{-\alpha }}$

pues la serie anterior es geométrica, y como

$-\alpha \frac{d}{d\alpha }\left(e^{-n\alpha }\right)=n\alpha e^{-\alpha }$

se tiene que

$\sum _{n=0}^{\infty }n\alpha e^{-n\alpha }=-\alpha \frac{d}{d\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-n\alpha }=-\alpha \frac{d}{d\alpha }\left(\frac{1}{1-e^{-\alpha }}\right)$

De los cálculos anteriores, se obtiene

$\overline{\mathcal{E}}=h\nu \frac{e^{-\alpha }}{1-e^{-\alpha }}=\frac{hv}{e^{\alpha }-1}=\frac{h\nu }{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}$

En conclusión

$\boxed{\overline{\mathcal{E}}=\frac{h\nu }{e^{\raisebox{1ex}{$h\nu $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$kT$}\right.}-1}}$