Los orígenes de la Física Cuántica (IV)

El efecto fotoeléctrico.

Hacia 1905, Einstein, en su explicación del efecto fotoeléctrico (por la que recibió el Premio Nobel de Física) sugirió la naturaleza cuántica de la luz y la cuantización de la energía (en sistemas ligados).
El dispositivo experimental para el estudio del efecto fotoeléctrico (ver figura) consta de un circuito eléctrico con una batería, una resistencia variable, un voltímetro (no figura en la imagen), un amperímetro y una ampolla de vacío, en la que hay un cátodo metálico en un extremo y un ánodo metálico en el otro.

Luz monocromática (UV, por ejemplo) entra por una ventana de la cámara e incide en el cátodo, provocando la emisión de electrones. Algunos de estos electrones colisionan con el ánodo dando lugar a una corriente eléctrica entre las placas (la cual es medida por el amperímetro). La placa del ánodo está cargada negativamente, de modo que tiende a repeler a los electrones; solamente los electrones más energéticos la alcanzan.

La energía cinética máxima $K_{máx}$ de los electrones emitidos se consigue anmentando el voltaje hasta que la corriente se anula. El experimento muestra que $K_{máx}$ es independiente de la intensidad de la luz incidente, lo que contraviene a la Física Clásica pues, según ésta, al aumentar el ritmo al que incide la energía lumínica en la superficie metálica, la energía absorbida por los electrones de la misma debería aumentar, luego también la $K_{máx}$ de los electrones emitidos.

Pero experimentalmente se observa que $K_{máx}$ es la misma para una determinada longitud de onda de la luz incidente, con independencia de la intensidad de la luz (potencia por unidad de área iluminada).

La sugerencia de Einstein para explicar esta discrepancia fue que la energía luminosa debería hallarse cuantizada en pequeños "paquetes" llamados "fotones", siendo la energía de cada fotón:

$\boxed{E=hf=\frac{hc}{\lambda }} \left(1\right)$

Que es la ecuación de Einstein para la energía del fotón, en la cual

$h=6.626\times {10}^{-34}J·s=4.136\times {10}^{-15}eV·s$

es la constante de Planck, $f$ la frecuencia y $\lambda$ la longitud de onda.

Un haz de luz consiste, pues, en un chorro de partículas o corpúsculos cada uno de los cuales con energía $hf$.



El haz luminoso interacciona con la superficie del cátodo mediante colisiones fotón-electrón, en las cuales el fotón desaparece y cede toda su energía al electrón. Cada electrón emitido por la superficie metálica recibe su energía de un solo fotón.
Al aumentar la intensidad de la luz, lo que aumenta es el número de fotones incidentes por unidad de tiempo y unidad de área, y se emiten más electrones; pero como cada fotón tiene la misma energía $hf$, la energía absorbida por cada electrón también es la misma.

Si $\varphi$ es la energía mínima necesaria para arrancar a un electrón de un átomo de la superficie metálica, entonces:

$\boxed{K_{máx}=hf-\varphi } \left(2\right)$

Esta es la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico. La magnitud $\varphi$ se denomina función de trabajo (trabajo o energía de extracción) del metal.

La ecuación (2) representa una línea recta ($K_{máx}$ en función de $f$), de pendiente $h$ y ordenada en el origen $-\varphi$.

Diez años más tarde del descubrimiento de Einstein, el físico norteamericano R.A. Millikan obtuvo un gráfico experimental de la ecuación (2), mostrando su corrección.

Observando el gráfico, inducimos que los fotones con frecuencia inferior a una frecuencia umbral $f_u$ (luego, respectivamente, con una longitud de onda mayor que una longitud de onda umbral ${\lambda }_u=c/f_u$) no tienen energía suficiente para expulsar a un electrón de un metal determinado.

De (2) deducimos:

$K_{máx}=0=h{f}_u-\varphi$

Luego

$\varphi =h{f}_u=\frac{hc}{{\lambda }_u}$

Se calcula que $hc=1240 eV·nm$ para los problemas, pues las longitudes de onda se suelen dar en nanómetros (nm) y las energías en electrón-voltios (eV).

EJEMPLO 1.- Considerando luz (espectro visible) de longitudes de onda entre $400 nm$ y $700 nm$, las energías de los fotones correspondientes a estos extremos, serán:

$\begin{array}{c}{E}_{400}=\frac{1240 eV·nm}{400 nm}=3.10 eV\\ E_{700}=\frac{1240 eV·nm}{700 nm}=1.77 eV\\ \end{array}$

Según estos cálculos, la luz visible contiene fotones con energías en el rango entre $\begin{array}{c}1.8 eV\end{array}$ y $\begin{array}{c}3.1 eV\end{array}$, aproximadamente.
Los rayos X están contituidos por fotones con energías del orden del $keV$. Los rayos gamma emitidos por los núcleos atómicos son fotones con energías del orden del $MeV$. Sus correspondientes longitudes de onda son

$\begin{array}{l}{\lambda }_X=\frac{1240 eV·nm}{1\times {10}^3 eV}=1.24 nm\\ E_{\gamma }=\frac{1240 eV·nm}{1\times {10}^6 eV}=0.0012 nm=1.2 pm\\ \end{array}$

EJEMPLO 2.- Conociendo que la intensidad de la luz solar en la superficie de la Tierra es aproximadamente $1400 \raisebox{1ex}{$W$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$m^2$}\right.$ y que la energía media de los fotones que llegan del Sol es de $2.00 eV$ ($\lambda \simeq 600 nm$), calculemos el número de fotones que inciden en un área terrestre de $1.00 c{m}^{\mathrm{2,}}$ en cada segundo.

Como $I=\frac{P}{A}=\frac{∆E}{A∆t}=\frac{Nhf}{A∆t}$ y $A=1.00 c{m}^2,∆t=1 s.$, se tiene que

$I=Nhf \left[\raisebox{1ex}{$W$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$c{m}^2·s$}\right.\right]$

Luego

$N=\frac{I}{hf}=\frac{\left(0.14 \frac{J}{c{m}^2·s}\right)\left(\frac{1 eV}{1.602\times {10}^{-19} J}\right)}{2.00 eV}=4.37\times {10}^{17}\frac{fotones}{c{m}^2·s}$